Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Ja, meine schönen guten Nachmittag, meine Damen und Herren. Schön, dass wir noch ein paar gekommen

sind. Wir haben beim letzten Mal uns ja mit dem Balken-Element beschäftigt, hatten festgestellt,

dass wir für das normale Euler-Bernoulli-Balkenproblem die zweite Ableitung im Prinzip der virtuellen

Verschiebung stehen hatten. Also in dem Ausdruck für die Steifigkeitsmatrix stand delta W2

gestrichen mal EI W2 gestrichen. Nach dem Regeln für die quadratische Integrierbarkeit der Ableitung

mussten wir daher fordern, dass die Funktion, die Ansatzfunktion, die wir verwenden C1 stetig ist.

Und wir hatten gesehen, dass wir das erreichen können, indem wir die Ableitung selber am Knoten

als Variable mitführen. Wir hatten also den unbekannten Vektor am Knoten, stand W links,

W Strich links und W rechts und W Strich rechts drin. Das funktioniert für das eindimensionale

Balkenproblem einwandfrei. Man bekommt dann diese kubischen Ansatzfunktionen, die man Hermit-Polynomen

nennt. Man bekommt allerdings Probleme im zwei- oder dreidimensionalen. Wenn ich jetzt kein

Balken-Element nehme, sondern das entsprechende Ebenelement, also eine Platte, ein dünnes

zweidimensionales, ich biege, dann nennt man das eine Platte, oder wenn es schon vorgekrümmt ist

und ich biege es dann, dann nennt man das eine Schale. Da tue ich mir schwer, ganz allgemeine C1

Stetigkeit zu gewährleisten, weil das setzt voraus, dass nicht nur die Ableitung in X- und Y-Richtung

stetig ist, sondern auch gemischte Ableitung. Darauf will ich gar nicht weiter eingehen. Diese

Probleme sind nur für Spezialfälle wirklich lösbar. Man findet Ansatzfunktionen für Rechteckelemente,

aber für ein beliebig geformtes Element schafft man es nicht, C1 Stetigkeit zu bekommen. Der

Ausweg ist an dieser Stelle, ich nehme andere Ansatzfunktionen, die halt nicht C1 Stetig sind,

das führt dann auf diese sogenannten nichtkonformen Elemente, oder ich benutze eine andere Theorie.

Das heißt, ich suche mir eine andere Balken- und Platten- und Schalentheorie, bei der keine

zweiten Ableitungen auftreten. Und genau diesen Weg wollen wir heute einmal gehen, auch wieder

nur am einfachsten Beispiel des Balkens. Das heißt, wir werden eine andere Balken-Theorie

heute kennenlernen, und zwar die Theorie des Schubweichenbalkens, die auch unter dem Namen

Timoschenko läuft. Nur, dass Sie sehen, wie die Idee dahinter ist. Und das werden wir hauptsächlich

an der Tafel machen. Die Herleitung der Timoschenko-Balkengleichung aus dem

Gleichgewicht am infinitesimalen Element ist im Skript drin, vorne. Ich möchte heute einen anderen

Weg Ihnen zeigen, nämlich die Herleitung aus dem Prinzip der virtuellen Verschiebung. Und das wird

heute hauptsächlich die Zeit in Anspruch nehmen. Herleitung Timoschenko-Balken aus dem 3D PDV-V.

Das haben wir. Wir kennen für das allgemeine Continuum das Prinzip der virtuellen Verschiebung,

beziehungsweise das Prinzip von Dallarmbert in der Fassung von Lagrange. Nämlich rho U2 gepunktet,

mal delta U über das Volumen integriert, plus Spannung mal virtuelle Verzerrung,

also die virtuelle innere Arbeit über das Volumen integriert, ist die Volumenkräfte hier,

die Arbeit B mal delta U dV plus gegebener Randlasten mal delta U dA über das Volumen

hier jeweils zu integrieren und das hier über den Spannungsrand. Das ist das 3D PDV-V für das

Continuum. Das kennen wir schon. Jetzt kann ich jede beliebige andere Theorie auch daraus gewinnen,

indem ich jetzt die kinematischen Annahmen, die man so für eine Balkentheorie oder Platten- oder

Schalentheorie verwendet, formuliert und dann dort einsetzt. Und die schreiben wir uns mal hin.

Kinematische Annahmen sind folgende. Die Querschnitte sollen eben bleiben und sie

sollen unverformt sein. Und natürlich wollen wir weiterhin kleine Verformungen,

also immer noch lineare Theorie machen. Und das war's. Was ich jetzt fallen lasse,

ist die Annahme der Euler-Bennoulli-Theorie, die nämlich noch zusätzlich fordert,

dass die Querschnitte senkrecht auf der Mittellinie bleiben. Die Annahme lasse ich fallen,

und erlaube jetzt sozusagen, dass der Querschnitt sich beliebig einstellt. Das heißt,

ich habe hier meinen Balken entlang der Mittellinie X, Z nach unten, der Balken habe die Höhe H,

und das werden wir später brauchen, also einen Rechteckquerschnitt haben mit der Breite B. Also

in der Form. Wenn ich mir jetzt einen Querschnitt markiere, der ursprünglich senkrecht steht,

hier, dann hat der Balken sich irgendwie verformt hier. Dann kann dieser Querschnitt

sich jetzt ganz allgemein bewegen. Er kann sich absenken, er kann sich verschieben,